Fractales

On nomme fractale ou fractal, une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne.

- Heu... oui, et en français, ça donne quoi ?

Un objet fractal est en quelque sorte une figure dont le motif global se répète, quel que soit le "zoom" arbitrairement grand ou petit que l'on choisit. Souvent il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels. Il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties.

Les objets fractals sont présents dans la nature : les spires des coquillages, les feuilles de fougères, les choux romanesco (voir photo en tête d'article : on voit que chaque "bouquet" est lui-même subdivisé en "mini-bouquets" et ainsi de suite).

Ci-dessous une animation qui modélise les différentes étapes de la construction du flocon de Koch. On trace un triangle équilatéral dont on partage chaque côté en trois segments de même longueur et on efface celui du milieu pour placer deux segments matérialisant un nouveau triangle équilatéral, puis on répète ce procédé sur chacun des segments.

Ceux d'entre vous qui maîtrisent la notion de convergence ou de divergence d'une suite numérique peuvent modéliser l'aire de la surface du flocon, et son périmètre. Ces deux caractéristiques augmentent au fur et à mesure des étapes. Et pourtant...
Le périmètre tend vers l'infini, alors que l'aire est finie et tend vers 9/5 si le triangle de départ mesure une unité d'aire.