Quarts de quarts de quarts... Démo sans mots

On souhaite calculer la somme des puissances d'un quart, c'est-à-dire :

Théoriquement, cette question n'est pas faisable avant d'être au lycée ! Mais nous sommes très très doués ;-) et nous allons triompher de la question grâce à une "démonstration" sans mots.

La voici :

Et c'est tout !

Comment cette construction peut-elle nous aider à trouver la réponse à notre question ?
Tout repose sur le calcul des aires colorées. Fixons que l'aire du triangle équilatéral initial vaut 1. Quelle est alors l'aire des triangles coloriés ?

• Le plus grand triangle a une aire qui vaut 1/4 (c'est une conséquence du théorème de la droite des milieux).
• Celui situé en-dessous a une aire qui vaut le 1/4 du 1/4, soit (1/4)².
• Celui situé encore en-dessous a une aire qui vaut le 1/4 du 1/4 du 1/4 soit (1/4)^3.
• Et ainsi de suite.

La somme qu'on veut calculer est donc égale à la somme infinie des aires de tous les triangles coloriés qu'on pourrait tracer.
Mais on peut dire la même chose de la somme des aires des triangles blancs de gauche, et des triangles blancs de droite. Or les triangles blancs et les triangles colorés recouvrent entièrement le triangle initial.
On en déduit donc que :

Donc la somme recherchée est égale à 1/3.

Simple, non ? C'est une jolie illustration de cette formule. Mais pour une démonstration plus rigoureuse, rendez-vous en 1ère S avec les sommes des suites géométriques !