"Zoé a entre 300 et 400 jetons. Elle fait des tas de 17, il lui en reste 9. Elle fait des tas de 7, il lui en reste 5.
Combien Zoé a-t-elle de jetons ?"
(site de l'APMEP)
Blog destiné à tous les "amatheurs" de culture et d'histoire, d'humour et de citations, de calcul mental et d'énigmes, de sorties mathématiques et d'actualité sur le système scolaire.
J'ai tout oublié... j'imagine que ça doit se régler vite fait bien fait avec des congruences, des modulo et le théorème qui va bien. En faisant à la barbare, j'ai pris les 6 multiples de 17 qui étaient compris entre 300-9 et 400-9. Ensuite j'ai divisé les nombres candidats (les multiples de 17 +9) par 7 et j'ai regardé si le reste valait 5. Seul 383 est à la fois congru à 9 modulo 17 et à 5 modulo 7.
RépondreSupprimerPour quelqu'un qui a oublié, tu as de bons réflexes !
RépondreSupprimerRubisco a-t-il la méthode rapide (qui découle des questions qui précédaient celle-ci dans le sujet) ?
300<17y+9<400,
RépondreSupprimer300<7z+5<400;
17y+9=7z+5
mais, mais... il ne me reste qu'une minute pour te souhaiter un magnifique anniversaire !
tant pis pour le calcul !
Merci Mamzelle !
RépondreSupprimerVoyons, j'ai pas donné le vrai exercice, ça serait trop facile !
RépondreSupprimerVoyons un peu, on cherche dans un premier temps la forme de la solution n dans ℤ tel que n≡9[17] et n≡5[7].
- On trouve une solution à 17u+7v=1 (voyons, (-2;5) fera l'affaire).
On remarque au passage que 17u+7v=1⇔7v=1-17u
⇔17u=1-7v
- On définit n' comme étant n'=5×17u+9×7v
▶ n'=5×17u+9×7v=5×17u+9(1-17u)=17(5u-9u)+9
donc n≡9[17]
▶ n'=5×17u+9×7v=5(1-7v)+9×7v=7(-5v+9v)+5
donc n≡5[7]
On peut en déduire que n' est solution de notre problème.
On peut même en déduire que -5×17×2+9×7×5=145 est solution.
Maintenant, on regarde ce qu'on peut sur n-n' :
n≡9[17] et n'≡9[17] ⇒ n-n'≡0[17]
n≡5[7] et n'≡5[7] ⇒ n-n'≡0[7]
Bon, maintenant il faut utiliser un théorème dérivé de Gauss : si a≡0[p] et si a≡0[q], alors a≡0[pq]
On applique et on en déduit que n-n'≡0[7×17]
⇒ n-n'≡0[119]
⇒ ∃k'∈ℤ,n-n'=119k
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+n'
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+145
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+119+26
⇒ ∃k∈ℤ,n=119k+26
Maintenant, on applique la seconde condition : 300≤n≤400
⇒ ∃k∈ℤ,300≤119k+26≤400
⇒ ∃k∈ℤ,274≤119k≤374
⇒ ∃k∈ℤ,274/119≤k≤374/119
⇒ ∃k∈ℤ,2.3≤k≤3.1
⇒ k=3
On a tout ce qui faut pour conclure : n=119×3+26=383
Et bravo à A-C qui a réussi haut la main, même si c'était (je cite) "à la barbare".
Bel effort que tout ce texte tapé avec des caractères mathématiques !
RépondreSupprimerMerci !
RépondreSupprimerJe crois que je vais devenir un expert du Unicode !
A moins qu'on puisse mettre du Latex sur ce blog ...
Pour ceux qui s'ennuie pendant les vacances :
RépondreSupprimerComme d'habitude, vous êtes en retard pour votre rendez-vous hebdomadaire. Ainsi, quand vous empruntez un escalator, vous montez les marches en même temps pour aller plus vite.
Il y a une semaine, il y avait beaucoup de monde et vous n'avez pu gravir que 10 marches.
Aujourd'hui, il est désert et avec une vitesse deux fois plus importante vous avez gravi 16 marches.
Question : combien de marches à cet escalator ?
Je précise que ce problème n'a aucun lien avec le précédent, c'est principalement un problème de raisonnement. C'est grand public !
RépondreSupprimerC'est comme dit précédemment, pour "ne pas s'ennuyer pendant les vacances"
Voilà la solution :
RépondreSupprimerA la vitesse normale, c'est-à-dire quand l'escalator était désert, vous avez grimpé 16 marches.
Le jour des bouchons, vous alliez 2 fois moins vite, donc au lieu d'être arrivé à la cime, vous en avez monté que 16/2=8. Puis vous avez gravis 10-8=2 marches supplémentaires, sur les 8 que normalement vous auriez du monter.
Donc pendant que vous aviez monté 1 marche, l'escalator en a "avalé" 4. Donc vous avez monté 1 marche sur 4.
Conclusion : si vous aviez gravis 10 marches, c'est qu'au départ l’escalator comptait 4×10=40 marches.