365 infos incroyables en chiffres : #Rubik's Cube

Cette année, le Père-Noël m'a offert un autre cadeau pseudo-mathématique : un éphéméride avec des anecdotes, des records et des infos chiffrées "365 infos incroyables en chiffres". Je vous en diffuserai certaines pages de temps en temps :

Explication : Analyse combinatoire du Rubik's Cube sur Wikipédia :

Le nombre de positions différentes est supérieur à 43 trillions. 

Ainsi, en passant en revue un milliard de combinaisons différentes par seconde, il faudrait plus de 1 200 ans pour toutes les épuiser. 

Ou encore, on pourrait recouvrir plus de 275 fois la surface de la Terre avec des Rubik's classiques (57 millimètres de côté), chacun dans une configuration différente.

Plus précisément, il y a 8! × 3⁷ × 12! × 2¹⁰ combinaisons, ce qui se calcule comme suit :

1. Il y a deux orientations possibles pour chaque arête. Étant donné qu’on ne peut pas changer l’orientation d’une arête seule, l’orientation de toutes les arêtes fixe l’orientation de la dernière. Cela donne 2¹¹ possibilités d’orientation des arêtes.
2. Il y a trois orientations possibles pour chaque coin. De même, on ne peut pas retourner un coin seul, l’orientation du dernier coin est donc fixée par les autres. Cela donne 3⁷ possibilités d’orientation de coins.
3. Les arêtes peuvent s’interchanger entre elles, ce qui donne 12! possibilités de positionnements pour les arêtes.
4. Les coins peuvent s’interchanger entre eux. Cela fait 8! possibilités.
5. Mais il existe un problème dit de parité : on ne peut échanger juste deux coins ou deux arêtes (mais on peut interchanger deux coins ET deux arêtes). La position des arêtes et des premiers coins fixe donc la position des deux derniers coins et il faut donc diviser le résultat par deux.

Les centres ne sont pas considérés dans ce calcul, car ce sont eux qui nous servent de points de repère.