Découverte de Racine de 2

En maths, la racine carrée d'un nombre a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, vaut a.

La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait est toujours un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut être exprimé par une fraction. Par exemple racine de 2 ne peut pas être écrit sous la forme m/n, où m et n seraient des nombres entiers. La démonstration, réalisée "par l'absurde" est souvent faite en classe de 2nde. Pourtant, racine de 2 est facilement contructible puisque c'est la longueur exacte de la diagonale d'un carré de longueur 1.

Les Babyloniens connaissaient déjà ce nombre "bizarre" ainsi qu'en témoigne cette tablette d'argile :

Un enseignant-chercheur à l'université Paris XIII, Benoît Rittaud a consacré un livre à ce nombre mystérieux : Le fabuleux destin de racine de deux. Il donne également des conférences pédagogiques sur le sujet. Le site internet de la Cité des Sciences et de l'Industrie propose de voir gratuitement cette passionnante conférence, soit en vidéo, soit sous forme de diaporama.

Notre article est volontairement très succint, pour vous encourager à aller voir la vidéo.

Vous pouvez également consulter l'article Wikipédia sur Racine de 2.

Une Pi-Poésie

Vous avez toujours rêvé de connaître LA valeur de Pi ?

Hé bien cela restera un rêve puisque Pi n'a pas d'autre valeur exacte que... la notation Pi.

Le fameux 3,14 qu'on apprend en primaire n'est qu'une valeur approchée inférieure à Pi, c'est son arrondi au centième.

Vous avez un sens inné de la poésie et une bonne mémoire ? Apprenez donc le poème ci-dessous (auteur inconnu), et vous apprendrez du même coup environ les 130 premières décimales de Pi. Le nombre de lettres de chaque mot est la valeur d'une décimale de Pi (dans le bon ordre) et un mot à 10 lettres correspond au chiffre 0. Et si vous vous attachez au sens du poème vous verrez qu'il raconte l'histoire de Pi !

Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !
3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi, ton problème eut de sérieux avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.

Alphonse Rebière (1842 -1901) dans son ouvrage "Mathématiques et mathématiciens", rédigée en 1898 :

Des poèmes mnémotechniques existent dans d'autres langues, et vous pouvez en lire certains sur ce site. A noter aussi le "Circle digit" de Michael Keith (le texte est écrit dans un disque). Vous pouvez le voir en cliquant là.

Actuellement, on a calculé 1 241 100 000 000 décimales de Pi grâce à des ordinateurs (au fait, ça s'écrit comment en notation scientifique ?), mais en réalité Pi possède une infinité de décimales sans périodicité (on appelle ça un nombre irrationnel).

Le Japonais Akira Haraguchi, fan de ce nombre, a mémorisé et récité en 2006 les 100 000 premières décimales. Et après, les élèves se plaignent d'avoir à apprendre des Fables de La Fontaine, des Poèmes de Victor Hugo ou des scènes de Molière...

Le Théorème du Perroquet

Drôle de titre... Serait-ce une propriété exotique, injustement boudée par les programmes de maths ? Non, il s'agit d'un roman passionnant écrit par le mathématicien Denis GUEDJ*, qui est également professeur d'histoire des sciences en université. Ce livre retrace des siècles d'histoire des maths sur fond de polar parisien.

Ce roman est recommandé à tout bon lecteur lycéen.

* Denis Guedj a également écrit L'empire des Nombres, dont a été tiré un film documentaire

Voici le résumé par l'éditeur :

Pierre Ruche, libraire à la retraite, reçoit une mystérieuse lettre
d'Amazonie, écrite peu avant sa mort, par son ami Grosrouvre. Dans le même temps, ce dernier lui lègue une fabuleuse bibliothèque entièrement consacrée aux mathématiques. Mais comment classer ces pécieux ouvrages ? Pierre Ruche est contraint de se remettre aux maths... à 84 ans. Comment élucider le mystère de la disparition de Grosrouvre ? Pour y parvenir, Ruche, accompagné de Perrette, de Max, de Jonathan et Léa, les jumeaux, et de Nofutur, le perroquet amnésique, se lance dans un long voyage à travers l'histoire des maths, depuis les Grecs anciens jusqu'à nos jours.
Humour et suspense, mathématiques et littérature, pour un roman qui connaît un grand succès dans le monde entier.

Faire des courbes avec des segments

Illustration d'une certaine magie des maths : création de lignes courbes (et artistiques !) à partir de segments. Nous traitons ici le cas d'une étoile à 5 branches.

Tracez un cercle de centre O et de rayon 10 cm.
Placez dessus des points A, B, C, D et E régulièrement espacés, sachant que les angles au centre mesurent 360°/5 soit 72° (nous verrons probablement dans un autre article comment contruire le pentagone à la règle non graduée et au compas).
Tracez les rayons [OA], [OB], [OC], [OD] et [OE].
Graduez régulièrement les rayons (0,5 cm par exemple).
Tracez le segment joignant A à la 1ère graduation de [OB] près de O.
Tracez le segment joignant la 1ère graduation de [OA] proche de A, à la 2ème graduation de [OB] près de O.
Tracez le segment joignant la 2ère graduation de [OA] proche de A, à la 3ème graduation de [OB] près de O.
Et ainsi de suite...
Quand vous avez fini de mailler ce secteur angulaire, recommencez l'opération entre les autres rayons.

Quand vous êtes aguerri, essayez de faire varier le nombre de branches de l'étoile :-)

Si vos productions sont belles elles pourront être publiées sur ce blog !

Perspectives un peu trop cavalières

Alors, objets possibles ou vues de l'esprit ?

Ce site (anglophone) regroupe des centaines d'images de figures impossibles, en noir et blanc ou avec des dégradés de gris encore plus troublants.

Mathenpoche

Mathenpoche est un logiciel collaboratif en ligne composé de centaines d’exercices de mathématiques triés par thème : géométrie ou numérique. On y trouve des activités de découverte, de démonstration, des exercices d’application, des travaux de synthèse… Il est développé par des professeurs de mathématiques et diffusé par l’association Sésamath. Mathenpoche couvre l'intégralité des niveaux du collège et partiellement celui de 2nde.

Certains élèves du collège le connaissent déjà parce qu'ils s'en servent lors des séances d'aide individualisée.

Quels sont les avantages de ce logiciel ?

- Le logiciel est gratuit, utilisable en ligne sans inscription, ou bien téléchargeables pour certains niveaux.

- L'élève est autonome car le logiciel signale les erreurs de l'utilisateur, fournit des rappels de cours ou de méthode, et l'élève peut ainsi s'autocorriger pour garder un bon score !

- Les exercices sont classés par thèmes et par difficulté croissante. C'est idéal pour les chapitres de calcul du collège notamment.

- Le logiciel intègre une calculatrice virtuelle pour les exercices qui y font spécifiquement appel.

- Le logiciel dispose d'outils de contstruction virtuels : règle graduée ou non, équerre, rapporteur, compas.

Quelles sont les limites de ce logiciel ?

- Un ordinateur ne remplace pas un humain à qui l'on peut poser des questions.

- Pour les démonstrations, Mathenpoche a tendance à faire "remplir des trous", alors qu'en classe on exige de savoir rédiger intégralement des démonstrations de géométrie, suivant les modèles.

- Les constructions géométriques à la règle et au compas doivent se "vivre" !

L'Empire des nombres

Les mathématiques ont inspiré plusieurs réalisateurs de longs métrages ou de séries. Coup de projecteur sur L'Empire des Nombres, un documentaire de Philippe Truffault, d’après l'ouvrage de Denis Guedj.
Ce film est une succession d'images animées assorties de commentaires retraçant l'histoire des nombres depuis la préhistoire jusqu'à nos jours. Cette gigantesque fresque décrit la constitution des ensembles de nombres tels que nous les connaissons aujourd'hui.
D'où vient le zéro ? Et le nombre Pi ?
De quand datent les premières traces de dénombrement ?
Comment comptaient les Egyptiens, les Babyloniens, les Romains et les Grecs ?
L'ensemble des nombres est-il fini ?
Peut-on grouper les nombres par familles ?

Toutes ces questions trouvent leur réponse dans ce film. Ce documentaire est particulièrement recommandé aux élèves de 3ème et 2nde dont le programme aborde les ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R) et aux élèves de 1ère L spécialité maths dont le programme d'arithmétique s'appuie sur l'hitoire de la numération.

Ce DVD est à disposition des élèves de P.Claudel sur simple demande auprès de leur prof de maths.

Un avis rédigé par deux élèves de 1ère qui ont vu ce film :

L’Empire des nombres est un court documentaire, disponible en DVD, qui retrace la découverte des nombres par l’homme, et expose les différentes démarches qui ont permis d’aboutir à notre système numéral d’aujourd’hui.
On y apprend notamment comment les chiffres sont devenus symboles de la quantité, permettant à l’ homme de passer du comptage au calcul ; et comment leur ordre est devenu un archétype, un référentiel indispensable à tout recensement.
Il s’agit donc d’ un film tout à fait instructif et passionnant, d’autant plus qu’il emploie un langage clair et simple pour faire comprendre ce qui au premier abord n’ est pas le plus évident.
Néanmoins, trop de jeux de lumières épuisants, un ton de voix nerveux, presque agressif, et des effets de zoom incessants rendent difficile la concentration.
En conclusion : des défauts sont regrettables, bien qu’ils n’atténuent en rien la qualité de l’explication.