8 novembre 2010

Nombres brésiliens

Un entier n est dit brésilien lorsqu'il peut s'écrire, dans une base de numération b telle que :
1 < b < n - 1 , avec des chiffres tous égaux.
Par exemple : 666 est brésilien (en base 10), 7 est brésilien (car en base 2, 7 s'écrit 111)
En 1994, lors de l'Olympiade ibéroaméricaine, avait été posée la question "montrer que 1994 est brésilien, mais que 1993 ne l'est pas". Le terme "nombre brésilien" est resté.

29 commentaires:

Fireblade a dit…

Si n s'écrit aaa dans une base alors n=a*b^n+a*b^(n-)+...+a soit n=a(b^n+b^(n-1)+...+1).
Ainsi a divise n. Or 1993 est premier donc il n'existe pas de a vérifiant la propriété si dessus. Ceci est le cas pour tout nombre premier au passage!
Pour 1994, on a 1994=2*997 donc 1994=2*(996+1) donc en base 996 1994=22 et est donc brésilien.
Exercice bien sympathique, pour pousser l'exercice, il faudrait chercher les nombres non premier qui ne sont pas brésilien et donner une condition nécessaire et suffisante.

Fireblade a dit…

De suite une modification au commentaire (comme quoi il suffit d'appuyer sur valider pour s'en rendre compte :
D'après l'énoncé a peut être égal à 1 donc les nombres premiers peuvent être brésiliens...
Il faut alors voir si 1993 (ou tout nombre premier) s'écrit b^n+b^(n-1)+...+1=(1-b^(n+1))/(1-b).
On a donc une relation "plutôt simple" à vérifier :
b^(n+1)-1993b=-1992 ou b(b^n-1993)=-1992.
Ainsi b^n<1993 (car b positif) et cela diminue les possibilités (en particulier n<11 car 2^11=2048>1993. En testant avec un tableur, il n'y a aucune solution, donc 1993 n'est pas brésilien.
Si les nombres premiers reviennent dans la courses des nombres brésiliens, on peut se demander quels sont les nombres qui ne sont pas brésiliens ou quels sont les nombres PREMIERS qui ne sont pas brésiliens! (Il semble évident qu'ils sont moins présents que les nombres brésiliens).

Farid Mita a dit…

Inutile d'utiliser des tableurs puisque le nombre 1993 est "raisonnablement petit".
L'entier b s'il existe, doit diviser 1992=3*8*83
Il suffit ensuite de vérifier dans cet ordre, que 83, 3 et 2 ne peuvent diviser b, ce qui conduit à une contradiction...

Fireblade a dit…

Certes, mais je voulais rectifier vite mon erreur donc j'ai pris la méthode brutale. Par contre je suis curieux de savoir si l'on connait beaucoup de choses sur les nombres non brésiliens : valeurs exactes, fréquence à l'infini...

Sonia Geffrier a dit…

Hé bien que d'enthousiasme !

Jean-Pierre Liégeois a dit…

Le premier commentaire de Fireblade semble induire que tous les nombres pairs sont brésiliens.

Ainsi mon année de naissance s'écrit 22, à condition de savoir compter en base 978.

Sonia Geffrier a dit…

Héhé !

Alondra a dit…

Et les nombres péruviens alors ?

Sonia Geffrier a dit…

Je n'en ai jamais entendu parler. Ça vous dit d'inventer le concept ?

Alondra a dit…

Hihi,il va falloir compter avec des lamas:-)

Sonia Geffrier a dit…

Hep Mademoiselle, allez donc réviser vos exos d'arithmétique sur les bases de numération...

The Dude a dit…

Ah merci ! Je suis en train d'enseigner les bases de numération. Je ne manquerai pas d'introduire les nombres brésiliens !

Anonyme a dit…

[tex]\alpha>0[/tex] la série [tex]\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}[/tex] est convergente

RuBisCO a dit…

C'est dommage qu'on voit pas la formule en LaTex.
Ça donne : α>0

Σ 1/(k^α)
k=1

Sonia Geffrier a dit…

Heu... Il me semble que ceci est faux.
Si alpha = 1, alors on a "somme des 1/k"
et celle-ci diverge !
Riemann nous indique que alpha doit être >1 pour que ça converge.

Anonyme a dit…

c moi ki l'ai écrit pour tester le latex sur le blog
bien sûr je navais pas écrit otute la formule en discutant suivant alpha

maintenant, rubisco est prié de nous expliquer comment il a fait...............

Sonia Geffrier a dit…

A mon avis, Rubisco est allé à la ligne pour créer un effet de superposition, et il a été chercher le code html des caractères grecs et de infini.

Anonyme a dit…

... et comment écrit-on les caractères grecs et infini avec le code html?...
bisous

Sonia Geffrier a dit…

Je ne connais pas par cœur le code, ça doit se trouver sur internet.
Qui se permet de faire des bisous nocturnes ? (on ne sait d'ailleurs pas à qui ils s'adressent puisque vous restez anonyme !)

Anonyme a dit…

j'ai affiché la source et j'ai vu comment il a fait:
α>0

Σ 1/(k^α)
k=1

bisous à tout le monde
c pas interdit!

demi-anonyme a dit…

à moins que tu souhaites qu'ils (les bisous) te soient destinés, à toi toute seule...

Farid Mita a dit…
Ce commentaire a été supprimé par un administrateur du blog.
Farid Mita a dit…

Nombres Marsiens:
Un entier n, naturel non nul est dit Marsien, si la suite U, initialisée par n et définie par
U(n+1)=U(n)/2 si U(n) est pair,
sinon (3*U(n)+1)/2
admet une valeur d'adhérence autre que 1 et 2.
Ainsi 1, 2, 3, 4, 5, 7, et les puissances de 2 ne sont pas Marsiens.
Y'a-t-il un Marsien dans IN?
Invitation à contribution: Une suite récurrente d'entiers pour matheux

preskanonym a dit…

bisous aux brésiliennes
quant aux marsiens, je crains qu'ils aient un visage triangulaire

Farid Mita a dit…

Une précision à faire:

Les nombres que je me suis permis moi même, d'appeler "Marsiens" pourraient ne pas exister, puisque la "conjecture de Syracuse" n'a pas été résolue jusqu'à aujourd'hui! Le problème n'a pas été non plus classé "indécidable"...

El Jj a dit…

Je me permets d'ajouter mon grain de sel : les nombres péruviens n'existent pas, mais les nombres Colombiens, si !

A propos de nombres brésiliens, j'avais pendant la coupe du monde fait un article qui peut vous intéresser : http://eljjdx.canalblog.com/archives/2010/06/20/18359668.html

Sonia Geffrier a dit…

Merci El Jj !

Anonyme a dit…

Bonjour,

Pour information, j'ai rédigé un article sur ces nombres brésiliens dans le n°76 de Quadrature - Avril-Juin 2010.

Sonia Geffrier a dit…

Merci. Voici le lien pour les références à Quadrature.

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