22 novembre 2010

Somme des premiers nombres impairs consécutifs

On décide aujourd'hui de s'intéresser à la somme des premiers nombres impairs consécutifs. Je vous propose les premières lignes de calcul ; observez-les, et faites une conjecture avant de lire ce qui suit :


De quelle forme est le résultat ?
...
Vous avez répondu "c'est un carré parfait", alors vous êtes (presque) parfaits.
Vous avez répondu "c'est le carré de k, où k désigne le nombre de termes intervenant dans la somme", là j'applaudis.  
Et maintenant, vous sauriez le démontrer ?
Un indice : une petite récurrence est autorisée.

PS à 18h55 : Olivier nous propose la démo sans mots :

22 commentaires:

kamaradclimber a dit…

facile pour la récurrence :
pour k=1 c'est vrai
on suppose que la somme des k premiers termes vaut k², alors le (k+1)eme terme vaut 2k+1
la somme vaut donc k²+2k+1 et on reconnait un belle identité remarquable :-)

A-C a dit…

C'est vrai pour k=1, k=2 et j'imagine que la récurrence ce fait avec une identité remarquable ou un truc du même style mais je n'ai pas le temps de le faire.

Sonia Geffrier a dit…

Gagné tous les deux.

olivier a dit…

il existe une démonstration sans mots. C'est assez joli de s'imprégner d'une figure pour en tirer des jolies formules. Je ne sais pas si ce genre de démonstrations est assez orthodoxe pour être validée .
http://img25.imageshack.us/img25/9391/sommeimpairs.jpg

Sonia Geffrier a dit…

Merci Olivier, c'est superbe.
J'avais déjà fait ici des démos sans mots.
Je crois que les puristes diraient qu'il s'agit d'illustrations, et non de démonstrations.
Mais bon, moi j'aime !

Fireblade a dit…

Ola tout ce qui se voit sur un dessin n'est pas toujours vrai... on pense au fameux paradoxe de Lewis Carroll ;)
Maintenant le dessin permet d'avoir l'idée de la récurrence de kamaradclimber.
Autre méthode en calculant directement somme(i=0,k,2i+1)=2*somme(i=0,k,i)+somme(i=0,k,1) (par linéarité de la somme)
Soit somme(i=0,k,2i+1)=2*(k(k+1)/2)+k+1 (attention entre 0 et k il y a k+1 termes)
Ainsi somme(i=0,k,2i+1)=k(k+1)+(k+1)=(k+1)^2
Il y a k+1 termes dans la somme CQFD!
(PS : désolé pour l'écriture des sommes mais il n'y a pas d'éditeur de formules mathématiques intégrées aux blogs =(

RuBisCO a dit…

J'espère avoir réussi la manip pour mettre le lien de ma démonstration :
lien vers l'image

Loïc a dit…

Ne suivant pas trop les explications littérales, j'aime bien l'illustration proposée. Mais est-elle une réelle démonstration ? Oui, "puisque ça se voit sur le dessin."

Sonia Geffrier a dit…

Merci Loïc, tu me rassures sur ta brillante formation intellectuelle !

Sonia Geffrier a dit…

Cette fois, Rubisco c'est bon (j'ai censuré le premier message qui plantait et prenait inutilement de la place).

The Dude a dit…

Bonjour Sonia,

vous pouvez également considérer les sommes des impairs mais au lieu de recommencer chaque somme à 1, on utilise l'entier suivant là où on s'était arrêté...

1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

etc.

blog de izzat a dit…

s=1+3+5+7+.......+2k-1
+
s=2k-1+.....7+5+3+1
----------------------------
2s=(1+2k-1)k
s=2k²/2
=k²
cqfd

Fireblade a dit…

The Dude : jolie conjecture que je ne connaissais pas. On aurait donc (à démontrer...) k³=somme(i=k(k-1/2+1,k(k+1)/2,2i+1)

olivier a dit…

Si k est impair, on peut arranger alors les termes afin qu'ils soient tous égaux aux terme central. On obtiendrait alors k termes égaux à k^2 . Si k est pair , ca marche aussi, d'ailleurs, en remarquant que les termes pris deux à deux en partant de chaque bout de la somme donne toujours le même résultat k^2 .Il y a même sans doute une possibilité de preuve sans mots ( oui, j'aime ça ) avec des empilements de cubes, mais elle semble plus alambiquée . Donc je m'absteindrai de faire un dessin.
Sinon, la somme des termes d'une suite arithmétique devrait venir à bout de la démonstration

Cyrille a dit…

Une autre façon de le voir : d'après ce qui précède, la somme des k(k+1)/2 premiers nombres impairs est égale à [k(k+1)/2]^2, ce qui est aussi égal à la somme des k premiers cubes (c'est une formule classique et facile à démontrer par récurrence) mais aussi à la somme des k premiers termes de la suite proposée par The Dude, donc cette suite est égale à la suite des cubes (il est facile de voir que si somme(i=1,k,u_i)=somme(i=1,k,i^3) quel que soit k, alors u_i=i^3 quel que soit i).

RuBisCO a dit…

J'aime bien la nouvelle présentation.
Vous renouvelez souvent ?

Sonia Geffrier a dit…

Bof... Je me suis dit que ça pouvait être sympa d'actualiser au rythme des saisons.

Le Nain a dit…

Mouais. Moi qui fait en ce moment même de la ub pour ton site sur Facebook, je ne suis pas emballé par cette présentation (et au passage : A-C : essaye de ne plus donner d'indices sur mon nom, j'aimerais bien que ce pseudo reste un pseudo).

Zo a dit…

D'habitude, on communique plutôt "en données corrigées des variations saisonnières".
Si la présentation de ce site varie en fonction des saisons, les fans de l'hémispère sud ne vont plus rien y comprendre !

Sonia Geffrier a dit…

@ Zo :
Bon... On dira que je rafraichisse les idées des visiteurs de l'hémisphère sud ;-)

A-C a dit…

Moi je ne comprends pas pourquoi le changement de charte graphique ne se fait pas au changement de saison ;-)

Sonia Geffrier a dit…

La charte graphique change aux températures hivernales ressenties...

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