20 décembre 2010

Nombres parasites, nombres circulaires

Un nombre parasite est un entier naturel qui, lorsqu'il est multiplié par un certain nombre entier n compris entre 2 et 9, voit sa représentation décimale inchangée, excepté pour le chiffre des unités qui est déplacé en début d'écriture. Un tel nombre est dit « n-parasite » ou circulaire.

Exemples :
102 564  est 4-parasite et 105 263 157 894 736 842 est 2-parasite. En effet :
        4 * 102 564 = 410 256
        2 * 105 263 157 894 736 842  = 210 526 315 789 473 684

Il existe une méthode pour créer des nombres parasites, elle utilise les congruences et est donc compréhensible pour un très bon élève de terminale S ou L ayant suivi l'enseignement de spécialité.

Saurez-vous me dire la particularité du parasitisme du nombre 142 857 ? 

Un parasite (qui, je l'espère ne se multiplie pas chez moi...)

5 commentaires:

Fireblade a dit…

Il est facile de vérifier que c'est un 2,3,4,5,6-parasite.
Par contre pour 7,8 et 9 cela tombe à l'eau.
Facile de vérifier (vu l'article) mais plus difficile à construire (pour qu'il soit multi-parasite).
Question plus compliquée (à laquelle je m'attèle dès que j'ai le temps) : existe-t-il un nombre 2,3,4,5,6,7,8,9-parasite?

Anonyme a dit…

142857 est le premier nombre cyclique
2 * 142857 = 285714
3 * 142857 = 428571
4 * 142857 = 571428
5 * 142857 = 714285
6 * 142857 = 857142
7 * 142857 = 999999

mais les choses amusantes ne s'arretent pas la, on peut multiplier 142857 par un nombre supérieur à 7 et ensuite retrouver la disposition des nombres par une simple manipulation.

Ex :

48 * 142857 = 6857136

on sépare les 6 chiffres de droite 857136 et on leur additionne les chiffres restant à gauche, dans notre cas 6 :

6 + 857136 = 857142

Dans le cas où le résultat fait plus de 6 décimales, on recommence.

Sonia Geffrier a dit…

Merci pour vos remarques.

El Jj a dit…

Pour répondre à Fireblade, il existe des nombres 2,3,...,n-parasites aussi long que l'on veut ! Il suffit de prendre la partie cyclique du développement décimal de 1/p, où p est un nombre premier long (un nombre premier tel que 1/p a un développement décimal de cycle p-1). Par exemple, le développement décimal de 1/17 est 0.0588235294117647, ce qui fait de 0588235294117647 un nombre 2,3,...,16 parasite !

Bon, en fait, pas vraiment aussi long que l'on veut, puisqu'on ne sait pas si il existe une infinité de nombres premiers longs, mais d'après les calculs, un tiers des nombres premiers seraient long.

Fireblade a dit…

El Jj : en effet, c'est si facile qu'on doit pouvoir trouver plus compliqué sur ces (nombres) parasites : fréquences, nombres parasites "proches" (comme les nombres premiers jumeaux...)

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