29 août 2012

Astroïdes d'église

Photo prise en pensant à vous dans la basilique Notre-Dame de Montréal :


Wikipédia nous renseigne :

Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde est une hypocycloïde de cercle à quatre points de rebroussement.
Une astroïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
\begin{cases}x(t) = \cos^3(t) \\ y(t) = \sin^3(t)\end{cases}
Sur la figure ci-dessous a été tracé en vert un segment de longueur 1 reliant un point de l'axe des abscisses à un point de l'axe des ordonnées. Il est tangent à l'astroïde. Pour cette raison, l'astroïde peut être vue comme la courbe enveloppe de la famille des segments vérifiant ces propriétés. Pour décrire cette famille par une image, on évoque souvent une échelle glissant le long d'un mur.

L'astroïde admet pour équation cartésienne
(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0.

7 commentaires:

A-C a dit…

Ca me rappelle le fameux problème de physique pour décrire la trajectoire d'un point isolé sur une roue de vélo...

Sonia a dit…

Oui, mais dans le cas de l'exo de 1ère S que tu cites, on aboutit à une cycloïde (si l'on roule sur une route plane).

Olivier a dit…

Tu es sur que c'est une astroïde et pas 4 arcs de cercles ?

Sonia a dit…

Je n'ai pas demandé la réponse aux bâtisseurs de la cathédrale ;-)

RuBisCO a dit…

Et mince, je me rends compte qu'il faut que je relise un peu mon cours sur les courbes paramétrées et les intégrales doubles.

Olivier a dit…

Alors je suis sur que ce n'est pas une astroïde. Enfin Gauss vient de me dire que ce n'est pas une astroïde ;-).

Super site, bon courage et bonne rentrée à tous.

Missmath a dit…

Tu me donnes le goût de faire du tourisme dans ma cour ! Comme quoi, l'herbe est toujours plus verte chez les voisins !!!

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