20 juillet 2009

Nombres narcissiques

Définition :
Un nombre est narcissique d'ordre p s'il est égal à la somme de ses p chiffres élevés à la puissance p.

Pourquoi "narcissiques" ?
Parce que ces nombres qui s'expriment en fonction de leurs chiffres se regardent un peu le nombril... tout comme le faisait Narcisse dans la mythologie.

Exemples :

Tous les chiffres sont narcissiques, et 0 l'est pour toute puissance non nulle.
153 est narcissique : 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153
1634 est narcissique : 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 = 1 + 1296 + 81 + 256

Saurez-vous trouver l'intrus parmi les nombres suivants ?

370 - 371 - 1983 - 54 748


Le plus grand* des nombres narcissiques 39 chiffres :
115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Extension 1 : on parle aussi de nombre narcissique pour un entier qui peut être découpé en tranches égales d'un ou de plusieurs chiffres et dont la somme de ces tranches, élevée à une puissance entière naturelle, est égale à lui-même.
Exemples :
3025 = (30 + 25)²
4913 = (4 + 9 + 1 + 3)^3

Extension 2 : Deux nombres peuvent être réciproquement narcissiques.
Exemple :
136 = 2^3 + 4^3 + 4^3 et 244 = 1^3 + 3^3 + 6^3

Extension 3 : On parle aussi de nombre narcissique quand on remplace la puissance par une factorielle. On rappelle que factorielle n (n!) est le produit de l'entier n par tous les entiers inférieurs jusqu'à 1.
Exemple :
145 = 1! + 4! + 5!

Extension 4 : Il existe aussi des nombres narcissiques dans d'autres bases que la base décimale.
Exemple :
(122)base3 = (17)base10 = 1^3 + 2^3 + 2^3

*Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi il n'y en aurait pas de plus grand, je suis curieuse de le savoir.

10 commentaires:

Fireblade a dit…

370=7^3+3^3
371=7^3+3^3+1^3
1983 n'est pas narcissique (année de naissance??) car 1^3+9^3+8^3+3^3=169 et 1^4+9^4+8^4+3^4=10739
57478=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5

L'intrus est donc 1983.

Pour l'astérisque, je pense qu'il s'agit du plus grand nombre narcissique DE 39 chifffres (ou alors connu) mais on doit pouvoir toujours trouver plus grand selon moi...

Sonia a dit…

Belles démonstrations, Fireblade.
(Et oui, 1983 est mon année de naissance, je devais bien me regarder le nombril dans un article qui parle de narcissisme ;-))

Fireblade a dit…

bah je suis à peine plus vieux (même le temps s'y prête =)

Pascal a dit…

J'ai trouvé une preuve sur le web: http://www.cs.umd.edu/Honors/reports/NarcissisticNums/node3.html ... après un nombre fini de lemmes et proposition on arrive à la conclusion qu'il n'y pas une infinité de nombre narcissique.
1983 est le meilleur millésime (il paraît ... né en 1983 aussi... ;-)) Merci d'ailleurs pour ce blog.
Pascal

Sonia a dit…

Merci Pascal pour le lien (qui permet même de lire un peu d'anglais...).

Pascal a dit…

Je ne l'ai malheureusement pas en allemand (ma langue maternelle et, d'après ce que j'ai vu (3sat et poème en allemand dans une entrée) une langue que tu maîtrises).

Sonia a dit…

Je ne maîtrise pas complètement les subtilités de la langue de Goethe, mais j'ai retenu quelques notions grâce à un séjour de 2 ans à Munich (lycée français).
Connais-tu le principe des Journées Euromaths ?
http://iremp7.math.jussieu.fr/calendrier/journee_euromaths/
Un concept très sympa : des profs de différents pays exposent dans leur langue maternelle une notion (enseignée dans le secondaire). Comparaison, discussion, c'est très enrichissant. J'ai assisté il y a quelques années déjà à la journée sur le théorème de Thalès (que les Français sont les seuls à appeler comme ça).

Pascal a dit…

Je ne connaissais pas mais c'est une idée géniale! Je ne serai plus dans la région parisienne à partir du mois d'octobre, sinon j'y serais certainement allé pour l'édition 2010. Dommage. (Ou bien je prends des congés ...)
D'ailleurs, Thalès a été bien trompeur pour moi: Quand on m'avait demandé le théorème de Thalès en France, j'ai donné le "Thalessatz" allemand. (Soit AB le diamètre d'un demi-cercle, et soit P un point sur le demi-cercle. Alors le triangle APB est un triangle rectangle avec l'angle droit dans ^P.) Il a certes quelques ressemblances quand on regarde bien, mais il faut vraiment bien regarder ... :-) (Le thm de Thalès en allemand est le "Strahlensatz", théorème des rayons.)

Sonia a dit…

J'ai effectivement découvert la "Thalessatz" à l'occasion de cette journée (enfin je connaissais la propriété du triangle rectangle inscrit dans un cercle depuis ma classe de 4ème, mais je ne savais pas que le reste du monde l'appelait Prpriété de Thalès).

A-C a dit…

J'arrive trop tard pour annoncer fièrement que 1983 est narcissique uniquement pour l'auteur de ce blog et pas d'un point de vue mathématique ;-)
J'ai du mal à concevoir qu'il y ait une limite max aux nombres narcissiques mais peut-être que c'est juste peu intuitif... Il faudrait démontrer par l'absurde avec des encadrements de puissances ??

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