5 octobre 2009

Nombres parfaits


Un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts (c'est-à-dire autres que lui-même).

Le premier nombre parfait est 6 car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.
  • Pouvez-vous me démontrer que 28 et 496 sont parfaits ?
Dans les Éléments, Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) a prouvé que si M = 2^p-1 est nombre premier de Mersenne, alors (M+1)*M/2 = (2^p - 1) *2^(p-1) est parfait.

Ainsi :
* 6 = 2^1(2^2-1)
* 28 = 2^2(2^3-1)
* 496 = 2^4(2^5-1)
* 8128 = 2^6(2^7-1)
* ...

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premier de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

1 commentaire:

marjolaine a dit…

j'ai donné "monsieur parfait " en livre à celui dont on fête la st parfait : le loup!
j'ai pas encore trouvé "mr modeste"
musy
ps son' as tu envoyé la photo de le loup en blouse rose au loup?
je suis aussi intéressée pour la récupérer!

Enregistrer un commentaire

Des réactions, des propositions ? Exprimez-vous :-)
(A cause de quelques commentaires inopportuns, ceux-ci sont modérés et ne paraissent qu'après approbation)