8 juin 2010

Quand Fibonacci nous pose un lapin... (ou plusieurs)


Il me semble n'avoir jamais présenté la suite de Fibonacci dans ce blog. Honte à moi !

Il s'agit d'une suite de nombres très connue qui doit son nom au mathématicien italien du XIIIème siècle, Leonardo Fibonacci. Ce brave Fibonacci s'intéressa un jour à la croissance d'une population de lapins, et voici le problème posé :
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
 Ce problème est à l'origine de la suite dont le n-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au n-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :
  • Au (début du) premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
  • Les lapereaux ne procréent qu'à partir du (début du) troisième mois ;
  • Chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
  • Les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).
Si l'on note F(n) le nombre de couples de lapins au début du n-ème mois, les premiers termes de la suite sont les suivants  :
F(1) = 1
F(2) =1
F(3) = 2
F(4) = 3
F(5) = 5
F(6) = 8
F(7) = 13
etc.
Comme les lapins ne meurent pas, on additionne les lapins qui naissent aux lapins existants, en tenant compte du fait qu'à partir d'un certains âge, ces lapins procréent eux-mêmes ! Et finalement, on a :
F(n)  = F(n-1) + F(n-2)

Voici la représentation de l'évolution du nombre de couples de lapins au cours de la 1ère année de l'expérience (cliquer pour zoomer) :

Et quand on calcule le quotient F(n+1)/F(n), le nombre se rapproche de plus en plus de... de... ? Je vous laisse reconnaître seuls ce nombre (ou je vous invite à cliquer là) :

A tous ceux qui s'intéressent à l'élevage de lapins, je recommande le film Jean de Florette d'après l'oeuvre de Marcel Pagnol, et magistralement interprété par Gérard Depardieu.

C'est tout pour aujourd'hui ! La suite au prochain numéro :-)

6 commentaires:

Le Nain a dit…

Juste une peitite faute : tu parles du nombre de lapins(pour le graphique par exemple), en précisant au début que la suite de Fibonacci ne s'intéresse qu'au nombre de couples de lapins.

Sinon, j'avias déjà entendu parler de la suite de F., sans vraiment savoir à quoi ça correspondait.

Sonia Geffrier a dit…

Merci, le Nain ! C'est corrigé.

RuBisCO a dit…

La plupart des personnes ont entendu parler de cette suite dans le Davinci Code.
On se rapproche de plus en plus de phi ((1+sqrt(5)/2), le nombre d'or. On l'a vu en étudiant le second degré.

Sonia Geffrier a dit…

Effectivement, c'est bien le nombre d'or.

Farid Mita a dit…

Recherche du terme général de la suite de Fibonacci:

La relation de récurrence F(n)=F(n-1)+F(n-2)
est linéaire et donc se résout en passant à l'équation caractéristique x^2=x+1
qui admet deux racines r1=(1+racine(5))/2
et r2=(1-racine(5))/2
r1 est justement le nombre d'Or !

Comme on a deux racines simples, la suite est une combinason linéaire de deux suites géométriques de raisons respectives r1 et r2
On écrit, pour tout n: F(n)=a.r1^n+b.r2^n
avec les conditions initiales:
F(0)=a+b=1 et F(1)=a.r1+b.r2=1
on trouve : r1=(5+racine(5))/10
et r2=(5-racine(5))/10
d'où le terme général de F(n) en remplaçant a, b , r1 et r2 par leur valeur respectives.

De plus r2/r1=(racine(5)-3)/2=sensiblement -0.38
donc en valeur absolue inférieur à 1
On déduit que F(n) est équivalent à a.r1^n
ce qui donne à sa courbe une allure géométrique (exponentielle)

de plus: F(n+1)/F(n) sera très proche de r1 c'est-à-dire le nombre d'Or comme c'est écrit dans le post et les commentaires ...

Cependant, il me semble que Fibonacci a omis une "fatalité" dans sa suite!!
Le décés d'un groupe de lapins arrivés à un certain âge!!!

C'est ce que je compte présenter dans mon prochain billet sur mon blog Horizon Maths Plus

NB: je m'excuse d'avoir supprimé plusieurs commentaires à cause d'erreurs relatives à html

Sonia Geffrier a dit…

Alors à bientôt sur Horizon maths.
Et toutes mes condoléances pour vos lapins ;-)

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