28 mars 2010

Combien de rectangles y a-t-il dans un quadrillage ?

On considère un rectangle quadrillé, composé de C colonnes, et de L lignes. Combien de rectangles peut-on former ? La réponse est :
(La preuve est laissée au lecteur, à titre d'exercice ;-D)

Prenons un exemple facile pour nous convaincre que cette formule est valable :

Application concrète : 
Combien de rectangles pouvez-vous obtenir avec cette tablette de chocolat (on précise que ce chocolat est noir, avec minimum 52% de caco ;-))

9 commentaires:

kamaradclimber a dit…

1 seul ! tout pour moi, rien pour les autres :)

Sonia Geffrier a dit…

Toi, ton grand-père t'a mal éduqué ;-)

olivier a dit…

merci pour cette formule que je n'avais pas pris le temps de chercher alors que j'ai eu l'idée d'utiliser la structure de la tablette de chocolat pour faire une bd oubapienne, avec autant de lectures possibles que de rectangles.
Si vous ne comprenez pas, je crois que c'est normal. ;)

Sonia Geffrier a dit…

Oubapienne...
ça sent l'oulipo à plein nez, je pense.
Un peu le concept de cent mille milliards de poèmes ?

olivier a dit…

Oui, ce sont des auteurs BD de la maison d'édition "l'association" qui ont fondé cette petite soeur de l'oulipo ( BA pour bande ) . Allez voir le site de Lécroart par exemple qui présente des vraies performances formelles qui jouent beaucoup sur la rotation, la symétrie et la combinatoire. En amatheur, j'essaie de faire quelques bandes .

Arnaud a dit…

Cette proposition a-t-elle été démontrée ?

Sonia Geffrier a dit…

Sûrement !
J'imagine qu'on doit pouvoir faire ça par récurrence sur le nombre de lignes (en fixant celui des colonnes).
Il faut aimer le dénombrement, ce qui n'est pas mon cas...
Ce serait un bon exercice à faire en vacances !

Zozoped a dit…

Une petite preuve?

Choisir un rectangle dans la plaquette de chocolat revient à choisir le coin inférieur droit A et le coin supérieur gauche B (ou inférieur gauche et supérieur droit...).

Ca revient en fait à choisir 2 coordonnées (xA, xB) distinctes et 2 autres (yA,yB). Choisir (xA,xB) revient à tirer 2 boules parmis C, et idem pour (yA,yB). Au total, le nombre de possibilités est : (combinatoire de C et de 2)*(combinatoire de L et de 2) = (C * (C+1))/2 * (L * (L+1))/2.

qed.

Petit piège quand même: bien entendu, xA et xB ne se tirent pas dans le même ensemble! (on ne peut pas prendre la dernière ligne pour commencer un rectangle) Mais en pratique, ça ne change rien...

Sonia Geffrier a dit…

Merci Zozoped !

Enregistrer un commentaire

Des réactions, des propositions ? Exprimez-vous :-)
(A cause de quelques commentaires inopportuns, ceux-ci sont modérés et ne paraissent qu'après approbation)