6 juin 2011

Nombres carrément carrés !

Un nombre carrément carré est un entier carré, avec un nombre pair de chiffres et que l'on peut couper en deux carrés.

Un nombre N à 2*p chiffres peut se couper en deux nombres à p chiffres, A et B.
Pour que N soit carrément carré, il faut que N, A et B soient des carrés non nuls

Le premier de ces nombres est 49 = 7² et l'on peut couper : 4 = 2² et 9 = 3²

Le suivant est 1681 = 41² ; 16 =  4² ; 81 = 9²

Les suivants sont :

  • 144 400 = 380²
  • 225 625 = 475²
  • 256 036 = 506²
  • 324 900 = 570²
  • 576 081 = 759²
  • 24 019 801 = 4901² etc.

12 commentaires:

RuBisCO a dit…

Amusant, superbe produit de notre arithmétique !
Il existe la même chose étendu aux cubes ?

Curieux a dit…

Bien jolis ces carrés mais comment les trouver ?

Sonia Geffrier a dit…

Ah, pour un algo de création de ces carrés, il faut demander à Rubisco ou KamaradClimber !

RuBisCO a dit…

Voyons, comment faire cet algorithme pour qu'il tourne en boucle (ici, programmation casio)?

- créer un carré parfait : facile, dérouler tout les entiers naturels M et en prendre le carré :
0 -> M
Lbl 0
M+1 -> M
M² -> A

- ensuite, déterminer le nombre de chiffres de ce carré : on fait une boucle qui donne à N les valeurs croissantes d'entiers naturels et on met la boucle :
0 -> N
Lbl 1
N+1 -> N
int(A*10^(-N))≠0 => Goto 1

- on en profite pour faire un élagage : si N est impair, alors il n'est pas intéressant :
int(N/2)≠N/2 => Goto 0

- on regarde sépare ensuite en deux nombres à n/2 chiffres :
int(A*10^(-N/2)) -> C
A-C*10^(N/2) -> B

- ensuite, on teste si B et C sont des carrés parfaits
int(√B)≠√B => Goto 0
int(√C)≠√C => Goto 0

On finti avec l'affichage du nombre et le retour à la case départ pour optimiser tout ça :
A◢
Goto 0

Et voilà !

RuBisCO a dit…

On remarque alors l'apparition de faux-positifs : il faut rajouter : B=0 => Goto 0

Le programme donne donc :
0 -> M
Lbl 0
M+1 -> M
M² -> A
0 -> N
Lbl 1
N+1 -> N
int(A*10^(-N))≠0 => Goto 1
int(N/2)≠N/2 => Goto 0
int(A*10^(-N/2)) -> C
A-C*10^(N/2) -> B
B=0 => Goto 0
int(√B)≠√B => Goto 0
int(√C)≠√C => Goto 0
A◢
Goto 0

Hou, je suis en forme, je renais après la philo !

Sonia Geffrier a dit…

Bonjour Rubsico,
Alors, quel sujet as-tu choisi ce matin ?
Je surveillais les Terminales L (petit post à venir).

RuBisCO a dit…

J'étais en S, avec le sujet : "Peut-on avoir raison contre les faits".
Comme exemple, j'ai réussi à caser Gödel et des théorèmes de logique, donc je remercie ce mathématicien-logicien !
Demain, histoire, matière ingrate qui refuse qu'on fasse des opérations avec ses dates !

RuBisCO a dit…

Pour les élèves ayant une Casio programmable, petite précision :
Lbl : [SHIFT] -> [VARS] -> [F3] -> [F1]
Goto : [SHIFT] -> [VARS] -> [F3] -> [F2]
=> : [SHIFT] -> [VARS] -> [F3] -> [F3]
◢ : [SHIFT] -> [VARS] -> [F5]
≠ : [SHIFT] -> [VARS] -> [F6] -> [F3] -> [F2]
Int : [OPTN] -> [F6] -> [F4] -> [F2]

Pour ceux qui n'ont pas de Casio, vous pouvez avoir l'émulateur de la GRAPH 85 SD :
http://www.planet-casio.com/Fr/logiciels/dl_logiciel.php?id=19&file=1

Sonia Geffrier a dit…

Personnellement, je suis très "Texas"...

RuBisCO a dit…

Moi, CASIO 85 SD et ClassPad 330.
Les Texas sont pas mals, mais j'avoue que j'aime bien les Casio. Il font pas encore de tactiles et en couleur, que je sache !

RuBisCO a dit…

Voilà la liste des premiers nombres carrément carrés :
4 9 = 7² (2² et 3²)
16 81 = 41² (4² et 9²)
144 400 = 380² (12² et 20²)
225 625 = 475² (15² et 25²)
256 036 = 506² (16² et 6²)
324 900 = 570² (18² et 30²)
576 081 = 759² (24² et 9²)
2401 9801 = 4901² (49² et 99²)
12996 02500 = 36050² (114² et 50²)
15876 24025 = 39845² (126² et 155²)
23716 90000 = 48700² (154² et 300²)
24964 01296 = 49964² (158² et 36²)
25281 78961 = 50281² (159² et 281²)
29241 05625 = 54075² (171² et 75²)
31329 76729 = 55973² (177² et 277²)
51984 10000 = 72100² (228² et 100²)
56169 02916 = 74946² (237² et 54²)
63504 96100 = 79690² (252² et 310²)
81225 15625 = 90125² (285² et 125²)
99856 05184 = 99928² (316² et 72²)
249001 998001 = 499001² (449² et 999²)
Pour l'instant, j'ai fait tourner le programme sur un temps relativement court (M=1 313 007), d'autres nombres peuvent peut-être apparaître.

J'ai aussi vu d'autres définitions : un nombre carrément carré serait un nombre qui est le carré d'un entier et dont la somme des chiffres est elle-aussi le carré d'un entier.

Sonia Geffrier a dit…

Merci Rubisco pour cette deuxième déf.

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