21 juin 2011

Zoé a les jetons pour son épreuve de maths (série S en spé)

Rubisco nous propose cet extrait-là en arithmétique :
"Zoé a entre 300 et 400 jetons. Elle fait des tas de 17, il lui en reste 9. Elle fait des tas de 7, il lui en reste 5.
Combien Zoé a-t-elle de jetons ?"

(site de l'APMEP)

10 commentaires:

A-C a dit…

J'ai tout oublié... j'imagine que ça doit se régler vite fait bien fait avec des congruences, des modulo et le théorème qui va bien. En faisant à la barbare, j'ai pris les 6 multiples de 17 qui étaient compris entre 300-9 et 400-9. Ensuite j'ai divisé les nombres candidats (les multiples de 17 +9) par 7 et j'ai regardé si le reste valait 5. Seul 383 est à la fois congru à 9 modulo 17 et à 5 modulo 7.

Sonia Geffrier a dit…

Pour quelqu'un qui a oublié, tu as de bons réflexes !
Rubisco a-t-il la méthode rapide (qui découle des questions qui précédaient celle-ci dans le sujet) ?

mamzelle CarnetO a dit…

300<17y+9<400,
300<7z+5<400;
17y+9=7z+5


mais, mais... il ne me reste qu'une minute pour te souhaiter un magnifique anniversaire !
tant pis pour le calcul !

Sonia Geffrier a dit…

Merci Mamzelle !

RuBisCO a dit…

Voyons, j'ai pas donné le vrai exercice, ça serait trop facile !

Voyons un peu, on cherche dans un premier temps la forme de la solution n dans ℤ tel que n≡9[17] et n≡5[7].

- On trouve une solution à 17u+7v=1 (voyons, (-2;5) fera l'affaire).
On remarque au passage que 17u+7v=1⇔7v=1-17u
⇔17u=1-7v

- On définit n' comme étant n'=5×17u+9×7v
▶ n'=5×17u+9×7v=5×17u+9(1-17u)=17(5u-9u)+9
donc n≡9[17]
▶ n'=5×17u+9×7v=5(1-7v)+9×7v=7(-5v+9v)+5
donc n≡5[7]
On peut en déduire que n' est solution de notre problème.
On peut même en déduire que -5×17×2+9×7×5=145 est solution.

Maintenant, on regarde ce qu'on peut sur n-n' :
n≡9[17] et n'≡9[17] ⇒ n-n'≡0[17]
n≡5[7] et n'≡5[7] ⇒ n-n'≡0[7]

Bon, maintenant il faut utiliser un théorème dérivé de Gauss : si a≡0[p] et si a≡0[q], alors a≡0[pq]
On applique et on en déduit que n-n'≡0[7×17]
⇒ n-n'≡0[119]
⇒ ∃k'∈ℤ,n-n'=119k
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+n'
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+145
⇒ ∃k'∈ℤ,n=119k'+119+26
⇒ ∃k∈ℤ,n=119k+26

Maintenant, on applique la seconde condition : 300≤n≤400
⇒ ∃k∈ℤ,300≤119k+26≤400
⇒ ∃k∈ℤ,274≤119k≤374
⇒ ∃k∈ℤ,274/119≤k≤374/119
⇒ ∃k∈ℤ,2.3≤k≤3.1
⇒ k=3

On a tout ce qui faut pour conclure : n=119×3+26=383

Et bravo à A-C qui a réussi haut la main, même si c'était (je cite) "à la barbare".

Sonia Geffrier a dit…

Bel effort que tout ce texte tapé avec des caractères mathématiques !

RuBisCO a dit…

Merci !
Je crois que je vais devenir un expert du Unicode !
A moins qu'on puisse mettre du Latex sur ce blog ...

RuBisCO a dit…

Pour ceux qui s'ennuie pendant les vacances :
Comme d'habitude, vous êtes en retard pour votre rendez-vous hebdomadaire. Ainsi, quand vous empruntez un escalator, vous montez les marches en même temps pour aller plus vite.
Il y a une semaine, il y avait beaucoup de monde et vous n'avez pu gravir que 10 marches.
Aujourd'hui, il est désert et avec une vitesse deux fois plus importante vous avez gravi 16 marches.
Question : combien de marches à cet escalator ?

RuBisCO a dit…

Je précise que ce problème n'a aucun lien avec le précédent, c'est principalement un problème de raisonnement. C'est grand public !
C'est comme dit précédemment, pour "ne pas s'ennuyer pendant les vacances"

RuBisCO a dit…

Voilà la solution :
A la vitesse normale, c'est-à-dire quand l'escalator était désert, vous avez grimpé 16 marches.
Le jour des bouchons, vous alliez 2 fois moins vite, donc au lieu d'être arrivé à la cime, vous en avez monté que 16/2=8. Puis vous avez gravis 10-8=2 marches supplémentaires, sur les 8 que normalement vous auriez du monter.
Donc pendant que vous aviez monté 1 marche, l'escalator en a "avalé" 4. Donc vous avez monté 1 marche sur 4.
Conclusion : si vous aviez gravis 10 marches, c'est qu'au départ l’escalator comptait 4×10=40 marches.

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