6 mars 2011

Nombres premiers jumeaux, cousins ou... sexy !

Aujourd'hui, grande fête de famille ! 
 
Nombres premiers jumeaux : nombres premiers dont la différence vaut 2. Hormis pour la paire (2;3), cette distance de 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers puisque 2 est le seul nombre premier pair. Les plus petits couples de nombres premiers jumeaux sont (3;5) puis (5;7). 
  • Donnez-moi les suivants (fastoche !)
Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2195000±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier.
La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux

Nombres premiers cousins : nombres premiers dont la différence vaut 4.
  • Saurez-vous m'en proposer quelques couples ?  Allez Kamaradclimber, c'est à toi de jouer !
  • Y a-t-il un nombre premier qui est cousin avec deux autres nombres premiers ?
Nombres premiers sexys : nombres premiers... suspense chaud bouillant... dont la différence vaut 6 (désolée pour ceux qui n'avaient pas reconnu les origines communes à sexy et six)
  • Saurez-vous m'en proposer quelques couples ?

12 commentaires:

kamaradclimber a dit…

je suis flatté que ce blog me donne des petits défis :-)

11,13 et 17,19 ou bien 29,31 pour les nombres jumeaux
1,5 3,7 ... 8863,8867 pour des couples cousins

En ce qui concerne les nombre à 2 cousins : 3,7,11 sont des bons candidats :-)

quant aux nombres sexys, c'est un peu hot pour moi :P

kamaradclimber a dit…

on peut ensuite se poser une nouvelle question :

peut-avoir des nombres triplés ?
(3 nombres premiers n, n+2 et n+4)

(la réponse est non mais il faut expliquer pourquoi !)

Sonia Geffrier a dit…

Bien, bien, cher ami !
D'autres peuvent continuer la liste.

RuBisCO a dit…

Kamaradclimber, si je te dis (3,5,7), tu peux en conclure quoi sur ta théorie des nombres premiers triplés ? Je suis sur que à part ce couple, il doit pas en rester des masses (voir pas du tout).
En nombres premiers sexys, je te propose les porte-bonheurs(7,13).

Fireblade a dit…

Nombres premiers sexys : 5 et 11, 7 et 13...
Montrons que n, n+2 et n+4 ne sont pas premiers simultanément, on distingue trois cas :
soit n=3k, alors n n'est pas premier
soit n=3k+1, alors n+2=3(k+1) n'est pas premier
soit n=3k+2, alors n+4=3(k+2) n'est pas premier

Attention si k=1 dans le premier cas, alors n=3 est premier.
On remarque donc que 3,5 et 7 sont certes un cas particulier mais un triplet n, n+2, n+4 tous premiers!
(mais dans TOUS les autres cas, cela est impossible)

Benjamin a dit…

Je viens de coder un petit programme qui remonte tous les couples de nombres premier (jusqu'à 1000) avec comme distance 2, 4, et 6 pour les nombres sexys.

Par curiosité, j'ai lancé le programme pour un écart :
- de 3 : 1 seul couple remonté : (2,5)
- de 5 : 1 seul couple remonté : (2,7)
- de 7 : Aucun couple remonté
- de 8 : Plus d'une 20 de couples
- de 9 : 1 seul couple remonté : (2,11)
- de 10 : Plus d'une 20 de couples
- de 11 : 1 seul couple remonté : (2,13)

Existe-t-il une règle afin de prévoir tout ceci ?

Benjamin a dit…

Désolé pour le spam, mais voici l'appel de mon programme pour un écart variant de 2 à 30 :

Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 2 => 35
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 3 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 4 => 41
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 5 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 6 => 74
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 7 => 0
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 8 => 38
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 9 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 10 => 51
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 11 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 12 => 70
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 13 => 0
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 14 => 48
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 15 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 16 => 39
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 17 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 18 => 74
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 19 => 0
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 20 => 48
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 21 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 22 => 41
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 23 => 0
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 24 => 79
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 25 => 0
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 26 => 42
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 27 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 28 => 41
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 29 => 1
Nb couples (entre 2 et 1000) pour écart = 30 => 99

Dur de trouver un logique à partir de l'analyse de cette liste. Qu'en pensez-vous ?

Sonia Geffrier a dit…

Intéressant, cette approche algorithmique. Si c'est sur CALCULATRICE, avez-vous la possibilité de nous donner le code (ou bien l'algo en langage naturel) ?

Benjamin a dit…

Hélas, j'ai codé ça en Java rapidement. En pseudo-langage, ça donne ceci :

pour tous les $ecart de [2, 1000] {
nbCouple($ecart)
}

fonction nbCouple($ecart) {
$compteur = 0;
pour tous les $i de [2, 1000] {
si (estPremier($i) ET estPremier($i + $ecart)) {
$compteur = $compteur + 1;
}
}
retourner $compteur;
}

fonction estPremier($nombre) {
si ($nombre < 0)
retourner VRAI
sinon
si ($nombre != 0 ET $nombre != 1) {
pour tous les $i de [2, n/2] {
si ($nombre != $i ET $nombre modulo $i == 0) {
retourner VRAI
}
}
}
retourner FAUX
}

En améliorant le code, on peut trouver les couples de 3 nombre premier tq : n, n+2, n+6 par exemple :
voici les 3 premiers : (5, 7, 11), (11, 13, 17), (17, 19, 23)

Après, je ne suis pas assez doué en maths pour trouver les démonstrations mathématiques.

Sonia Geffrier a dit…

Merci pour ces infos :-)
Pour le démonstrations, on doit pouvoir trouver sur internet (éventuellement en anglais). J'avoue que je n'ai pas le temps de creuser la question.

Fireblade a dit…

Coder le nombre de nombres premiers avec un écart impair n'a pas grand intérêt puisque seul deux est pair, il y aura donc au maximum un couple (si n-2 est premier).
La conjecture de Goldbach émet l'hypothèse qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, pour les cousins/sexys, cela me semble être le même résultat, mais encore une fois rien n'a été prouvé :/

Nicolas a dit…

Bonjour, le terme jumeaux me semble inapproprié ; j'aurais préféré "couples premiers" ou pourquoi pas "bînômes premiers"

De plus, ils bornent des nombres pairs qui sont peut-être une suite qui recèle donc une qualité encore insoupçonnée de vrais jumeaux ou peut-être pas.

4 6 12 18 30 42

2 6 6 12 12

1 n'étant pas nombre premier, il n'y a donc pas de "jumeaux" bornés entre 1 3 pour 2 comme c'est le cas pour 6 6 puis 12 12 sinon cela aurait fait un début parfait, etc.....les vrais jumeaux sont des valeurs d'intervales intercalées entre ces nombres premiers.

Les nombres carrés ont leur forme géométrique générique
Les nombres cubiques aussi
Les nombres dits triangulaires également

Quelle forme géométrique de base pour les nombres premiers ?

Le nombre cercle et / ou les nombres cercles existent-t'ils ?

Etc....

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