30 mars 2011

Nombres oblongs (ou "proniques" ou "hétéroméciques")

Curieux : « de quoi sert cette oblongue capsule ?
D'écritoire, monsieur, ou de boîte à ciseaux ? »
(Extrait de la tirade des nez de Cyrano de Bergerac, Acte 1, scène 4, d'Edmond Rostand)

Définition :
Un nombre oblong, ou nombre pronique ou nombre hétéromécique, est un nombre qui est le produit de deux entiers positifs consécutifs, c’est-à-dire, n(n + 1).
==>Pourquoi cet adjectif oblong ? Le mot oblong caractérise la forme d'un objet qui est plus long que large. Je suppose donc que ce mot a été choisi en maths pour des nombres qui sont proches des carrés n*n mais pas tout à fait.



Propriété 1 :
Chaque nombre oblong est pair. (C'est évident puisque deux de ses diviseurs se suivent, donc l'un est pair et l'autre impair)

Propriété 2 :
Chaque nombre oblong pour n est le double du nombre triangulaire pour n, c'est-à-dire double de la somme des entiers de 1 à n.

Exemples :  4*5 = 20 donc 20 est oblong. C'est bien un nombre pair (20 = 2*10) et sa moitié est un nombre triangulaire (10 = 1+2+3+4)

Défi : Combien y a-t-il de nombres oblongs inférieurs à 100 ?

4 commentaires:

kamaradclimber a dit…

interessants ces nombres au long nez :-)

et je dirais bien qu'il y a 10 nombres oblongs ( n(n+1) pour n=0 à 9 )

RuBisCO a dit…

Je confirme la réponse de kamaradclimber

Démonstration :
Soit u(n)=n(n+1) sur ℕ⁺
n et n+1 sont positifs, donc u(n)≥0
1<2 ⇔ n+1<n+2 ⇔ n(n+1)<(n+1)(n+2)
car 0<1 ⇔ n<n+1
on obtient u(n)<u(n+1), donc la suite est croissante.
u(0)=0*1=1
u(1)=1*2=2
u(2)=2*3=6
u(3)=3*4=12
u(4)=4*5=20
u(5)=5*6=30
u(6)=6*7=42
u(7)=7*8=56
u(8)=8*9=72
u(9)=9*10=90
u(10)=10*11=110
or comme u(n) est croissante, on a seulement 10 nombres oblongs

olivier a dit…

je ne connaissais pas cette catégorie de nombres .
Pour trouver le nombre de nombres oblongs inférieurs à 100 , on peut aussi résoudre deux inéquations du second degré .
n² + n >= 0 et n²+n <= 100 .
Ce qui donne les résultats annoncés dans les deux messages précédents .

Sonia Geffrier a dit…

@Olivier :
Les résolutions d'équations sont une bonne idée (je suis justement dans le chapitre 2nd degré avec les élèves). Il faut tout de même préciser "résoudre dans N"

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