Maths et architecture : pavages

(Logo en pavage de l'association Kangourou Sans Frontières
qui organise le concours Kangourou des maths du primaire au supérieur)

Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un plan) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles. Généralement, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par un glissement rectiligne (à l'exclusion des rotations ou symétries).

Les pavages périodiques du plan ou de l'espace sont connus depuis l'antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture (regardez votre carrelage de salle de bain ou les pavés de béton de certains trottoirs !)

Un pavage en mosaïque au sol de la basilique Saint Vital de Ravenne :

Un pavage au mur d'un palais de Marrakech :

Un million de petits Chinois, et moi et moi et moi ?

Il existe aussi des pavages d'espaces hyperboliques, les plus célèbres étant les pavages de M.C. Escher.

Un pavage sphérique :

En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d'atomes. En 1891, le mathématicien russe Fedorov a montré qu'il existait seulement 17 types de pavages périodiques du plan : deux pavages sont de même type s'ils sont invariants par la même succession de rotations, symétries axiales et translations. Tous ces types, sauf deux, peuvent être réalisés par des pavages dont les tuiles sont toutes des polygones réguliers.

L'une des mosaïques de l'Alhambra de Grenade (ce palais contient les 17 types de pavages) :