Énigme des Olympiades mathématiques
Je casse au hasard un bâton en 3 morceaux, quelle est la probabilité que je puisse construire un triangle avec les morceaux ?
Blog destiné à tous les "amatheurs" de culture et d'histoire, d'humour et de citations, de calcul mental et d'énigmes, de sorties mathématiques et d'actualité sur le système scolaire.
18 février 2012
Le Nain réclame votre aide
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Commentaires
19 commentaires:
La probabilité est de 1.
Kamaradclimber n'a pas déjà répondu ? Il n'est peut-être pas encore rentré de voyage...
Ça dépend de la répartition des probabilités...
Si on considère deux variables aléatoires x et y (la taille des deux premiers morceaux) ayant une répartition de probabilité telle que P(x<a,y<b)=a*b-1/2*(1-(a-b)^2) (c'est-à-dire que la répartition dans le triangle x+y<1 est uniforme, ce qui semble raisonnable), on trouve une probabilité de 1/4 (pour préciser, trois longueur peuvent former un triangle si chacun des côtés est plus petit que la somme des deux autres).
Si on considère deux variables aléatoires x et y qui sont les abcisses des points où on a cassé le bâton, indépendantes et uniformes (c'est à dire P(x<a,y<b)=P(x<a)*P(y<b)=a*b), on trouve aussi 1/4...
Mais il est très facile de trouver des répartitions de probabilités où le résultat serait différent (bien que je n'ai pas envie de chercher une telle répartition qui serait "sensée", c'est-à-dire répartie de façon équilibrée).
Je ne comprends pas... Ce n'est pas 1 ? Où me fais-je donc piéger ?
Euh, intuitivement, j'ai pensé qu'il fallait que le grand morceau soit au max aussi grand que les 2 petits réunis...mais je n'étais pas très avancée !
Après, j'ai demandé à mon ami google qui m'a dit ln 2 - 1/2 mais "y en a qui décroche"
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3970
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1883__11_/BSMF_1883__11__13_0/BSMF_1883__11__13_0.pdf
à Loïc :
Sur bâton de 5cm de long, on peut par exemple découper en 3, 1,1, c'est un cas où le triangle n'est pas constructible, la probabilité ne peut être égale à 1.
à Arnaud : attention, en proba continues, un évènement peut avoir une probabilité de 1 sans pour autant être vrai systématiquement. Par exemple, l'évènement "les morceaux font exactement 3,1 et 1cm" (sur le même bâton de 5cm) a une probabilité nulle, et pourtant, ça peut arriver...
jolie question, il faut que je réfléchisse... ou que je laisse réfléchir des gens plus compétents .
pas d'article sur la date palindrome d'aujourd'hui ?
Bonjour !
Je trouve aussi dans la littérature et sur le web une probabilité de 1/4 pour le problème tel qu'il est posé.
J'ai vu comme solution ln(2) - 1/2 pour le problème différent suivant : "On brise d'abord un bâton en deux morceaux. Puis on brise le plus long des deux morceaux. Quelle est la probabilité que l'on puisse former un triangle avec ces trois morceaux".
Bonjour,
On peut supposer que la longueur du bâton est 10.
L'ensemble des découpages possibles est l'ensemble des couples (x ; y) tel que x et y sont plus grands ou égal à 0 et plus petit ou égale à 10.
Ainsi, (1 ; 2) signifie que l'on a découpé le bâton en trois morceaux de longueur 1 ; 2-1 = 1 et 10 - 2 = 8. Ce couple n'aboutit pas à un triangle alors que le couple (4 ; 6) oui.
L'ensemble des découpages possibles est donc représenté par un carré de côté 10 auquel il faut ôter la diagonale allant de (0 ; 0) à (10 ; 10) et les 4 côtés.
Cela vaut la peine de dessiner ce carré.
Il faut maintenant colorier les zones qui n'aboutissent pas à un triangle. Pour cela, on coupe le carré en 4 carrés identiques. Le carré en bas à gauche et celui en haut à droite n'aboutissent pas à des triangles. On divise les deux carrés selon leur diagonale et on colorie la partie en haut à gauche et en bas à droite qui n'aboutissent pas à des triangles.
P = Aire non colorée / Aire totale = 1/4
C'est long à expliquer, mais c'est fulgurant si l'on dessine. Il suffit de remplacer 10 par A pour le résultat général.
En passant, on a une justification intuitive du fait que la probabilité d'un découpage particulier est nulle (c'est ce dont a parlé Cyrille). En effet, la probabilité qu'un découpage particulier se produise est le rapport entre l'aire d'un point et l'aire du carré.
Après la date palindrome mentionnée par Olivier, j'ai pensé à toi ce matin en écrivant 24/2/12 un peu comme 24/2=12...
Bonnes vacances !
Je vous propose la solution suivante où je retombe sur log2 - 1/2.
J'espère ne pas avoir fait d'erreur
On suppose le morceau de longueur 1. On le coupe en 3 morceaux L1, L2 et L3. Le morceau L1 à une longueur 1-x (0 < x < 1). Quelle valeur de x est une condition nécessaire pour pouvoir faire un triangle ?
Si x < ½ alors la somme des 2 longueurs de L2 et L3 (x) sera inférieure à L1 : pas de triangle possible.
On doit donc avoir 1/2 < x < 1
On a donc la probabilité recherché p = intégrale entre ½ et 1 de p(x)
Où p(x) est la probabilité que lé découpe du morceau de longueur x restant permettent de faire un triangle.
On coupe le segment restant de longueur x en 2 segments L2 et L3 de longeur respectivement xy et x(1-y) avec 0 < y < 1.
1er cas : L3 est le plus grand segment, on doit avoir L3 < L1 + L2.
Soit x(1-y) < 1-x + xy
D’où y > 1 – 1/2x
2ème cas : L2 est le plus grand segment, on doit avoir L2 < L1 + L3.
Soit xy < 1 – x + x(1-y)
D’où y < 1/2x
P(x) = 1/2x – (1 – 1/2x) = 1/x – 1
On intégre p(x) entre ½ et 1 pour trouver p = ln(2) -1/2
Ce qui m'embête avec la solution contenant du logarithme, c'est que ça n'est pas connu d'un lycéen de 1ere S (même avec le QI hors norme de notre Nain préféré...
En tous cas je note un regain d'intérêt pour les énigmes :-)
Merci pour le QI !
Effectivement, j'avais cherché sur Google la solution, et j'en vois d'autres ici. Même si la probabilité est de 1/4, les divers chemins qui y mènent me semblent très tortueux... Je précise que les élèves des autres sections ont quasi les mêmes questions, même si on imagine bien que les Olympiades de maths attirent peut-être un tout petit peu moins les L.
Quant aux énigmes, elles ne cessent jamais d'attirer l'intérêt, bien qu'elles se fassent rares en ces contrées Algorythmiques... :'-(
par simulation informatique je trouve 0,193, cela correspond bien a ln(2)-1/2 ( et pas 1/4)
voici mon script R
tri<-function(elv){
x<-elv[1];y<-elv[3];longueur<-elv[2]
z<-longueur-x-y;vec<-c(x,y,z)
return(min(setdiff(vec,min(vec)))+min(vec)>max(vec))}
try<-function(lg){return(runif(1,0,lg[2]-lg[1]))}
tout<-function(longueur,nb){
base<-cbind(runif(nb,0,longueur),rep(longueur,nb))
base2<-cbind(base,apply(base,MARGIN=1,FUN=try))
rep<-apply(base2,MARGIN=1,FUN=tri)
return(sum(rep)/nb)
}
tout(10,100000)#env 0,193
Que pensez-vous de ce raisonnement pour départager les tenant du 1/4 et ceux du Ln(2) -1/2 ?
Tout dépend de la façon dont on coupe le bâton !
Si je coupe en 2 morceaux au hasard, reprend un morceau au hasard et le recoupe au hasard en deux, je devrais pouvoir construire un triangle avec une probabilité de Ln(2) - 1/2 (voir la démonstration de Franck).
Si je trace un coup de scie au hasard, le cache, et trace un deuxième coup de scie au hasard, puis casse mon bâton sur les coups de scie, je devrais pouvoir construire un triangle avec une probabilité de 1/4 (voir la démonstration de Jérôme).
l'informatique vous donne raison :
tri2<-function(elv){
x<-elv[1];y<-elv[2];longueur<-elv[3]
z2<-10-max(x,y)
x2<-min(x,y)
y2<-max(x,y)-min(x,y)
vec<-c(x2,y2,z2)
return(min(setdiff(vec,min(vec)))+min(vec)>max(vec))}
tout2<-function(longueur,nb){
base<-cbind(t(matrix(runif(nb*2,0,longueur),2)),rep(longueur,nb))
rep<-apply(base,MARGIN=1,FUN=tri2)
return(sum(rep)/nb)
}
tout2(10,100000)
J'ai déjà vu ce genre de "paradoxe", avec une histoire de découpage de part de pizza.. je ne sais plus sur quel blog :p
Bien vu Florence !
Tout dépend du nombre de fois que l'on fait intervenir le hasard.
Si c'est deux fois, on obtient 1/4 alors que si c'est trois fois, on obtient ln(2) - 1/2.
Long trajet en voiture hier, et cette enigme si jolie par sa simplicité me trottait dans la tête, je me suis demandée comment la résoudre avec des connaissances de 2nde.
Je constate en lisant les réponses que je suis tombée sur la même solution que Jérôme, une jolie résolution graphique.
Je suppose que le baton a pour longueur 1, je pose x et y les longueurs des deux premiers morceaux.
Je ne peux pas avoir x+y>1 (euh je mets ça parce que je ne sais pas écrire supérieur ou égal avec le clavier, mais de toutes façons les triangles plats sont de probabilité nulle, cela ne change rien de me pas les prendre en compte).
Donc je colorie sur ma feuille le triangle d'abscisse (0,0), (0,1), (1,0) qui est l'ensemble des façons de casser le bâton en trois morceaux.
Les longueurs des trois morceaux sont alors x, y et 1-(x+y).
Si j'écris les trois inégalités triangulaires (c'est-à-dire, petit rapel, que dans un triangles de côtés a, b et c on a toujours a + b < c), je trouve :
x + y < 1-(x+y)
x + 1-(x+y) < y
y + 1-(x+y) < x
En traçant les droites correspondantes sur le graphe, cela construit 4 petits triangles d'aire égale dans mon triangle de départ, dont un seul respecte les trois inégalités.
Cela donne donc une chance sur quatre de pouvoir faire un triangle, à condition que chaque point soit de probabilité équivalente (ce qui n'est pas le cas si l'on reprend exprès le grand morceaux pour le rebriser).
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