Nombres parfaits

Un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts (c'est-à-dire autres que lui-même).

Le premier nombre parfait est 6 car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.

• Pouvez-vous me démontrer que 28 et 496 sont parfaits ?
  

Dans les Éléments, Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) a prouvé que si $M\; =\; 2^p-1$ est nombre premier de Mersenne, alors ($M+1)*M/2\; =$(2^p - 1) *$2^(p-1)$ est parfait.

Ainsi :
* $6\; =\; 2^1(2^2-1)$
* $28\; =\; 2^2(2^3-1)$
* $496\; =\; 2^4(2^5-1)$
* $8128\; =\; 2^6(2^7-1)$
* ...

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premier de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.