"Théorème du bonhomme", what else ?

Samedi, je vous donnais rendez-vous pour un joli théorème utilisant les tangentes extérieures communes à deux cercles. Je ne sais pas si ce résultat mathématique est attribué à un mathématicien particulier, ou s'il porte un nom pompeux... Alors je vous le donne sous la forme sympathique proposée oralement par notre prof Rached Mneimné en cours d'agreg interne mercredi dernier.

Théorème du bonhomme :

Soit George Clooney, qui possède comme chacun sait, deux yeux de même taille, un nez et une bouche.

Soit A l'intersection des tangentes communes à un œil et au nez.

Soit B l'intersection des tangentes communes à l'autre œil et au nez.

Le segment [AB] est la bouche de George.

Alors la ligne de la bouche est parallèle à la ligne des yeux !

Illustration ci-dessous réalisée sur GeoGebra :

Les notions mathématiques mises en jeu ?

La composée d'une homothétie et d'une translation est une homothétie.

-  Considérez l'homothétie qui envoie un cercle C1 de centre N (= centre du nez) sur un cercle C2 un peu plus grand et de centre G (= centre de l'œil gauche).

-  Appliquez ensuite la translation de vecteur GD où D est le centre d'un cercle C3 de même rayon que C2 (C3 est l'œil droit).

Hé bien vous auriez obtenu la même chose en appliquant directement au nez une homothétie qui l'envoie sur l'œil droit. Je vous laisse méditer tout ça et admirer les talents d'imagination de notre prof (et encore, je ne vous ai pas dit que dans sa bouche, le groupe des homothéties-translation est chaud bouillant : c'est le groupe HoT !)

Si vous êtes sages, rendez-vous dans quelques jours pour le théorème du bonhomme boxé ! Il est ici, maintenant.

(Pour ceux qui se posaient la question, l'ellipse n'est là que pour donner un peu plus de sensualité à la bouche de ce brave George)