Nombres taxicab et cabtaxi

• En mathématiques, le n^ième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes (à l'ordre des termes près.) Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire.

Pourquoi a-t-on appelé ces nombres "Taxicab", qui signifie Taxi en anglais ? Voici l'anecdote historique :
Le mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy rendait visite au mathématicien indien Srinivasa Ramanujan qui était malade. Le taxi qui l'emmenait à Putney portait le numéro 1729 et après l'avoir décomposé en 7x13x19, Hardy le trouva plutôt ennuyeux. Il fit part de cette réflexion à Ramanujan qui lui dit que c'était au contraire un nombre très intéressant, le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes positifs en deux manières différentes.

Quelques nombres taxicab connus ; je vous laisse trouver les deux décompositions de l'historique Ta(2) c'est-à-dire 1729 :

• En mathématiques, le n^ème nombre cabtaxi, souvent noté Cabtaxi(n), est défini comme le plus petit entier pouvant s'écrire de n façons distinctes comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs (à l'ordre des termes près) . Les nombres cabtaxi existent pour tout n >= 1 (puisque qu'il en est de même pour les nombres taxicab) ; mais seulement huit d'entre eux sont prouvés. :

Quelques nombres cabtaxi connus ; je vous laisse trouver les deuxièmes décompositions de Cabtaxi(2) et Cabtaxi(3) :